Tag Archives: polynom

Faktorisering: Polynom

Her er noen få rakse tips for å faktorisere polynom (opprinnelig skrevet med tanke på en deltaker i runde 2 av Abelkonkurransen).

Nullpunktsmetoden: Finner du et nullpunkt r så vet du at (x-r) er en faktor. Bruk polynomdivisjon for å faktorisere.

Hvis polynomet har heltallskoeffisienter kan du ofte gjette nullpunkt ved å prøve med tall (positive OG negative) som går opp i konstantleddet! Dette er nok det viktigste å vite for å kunne faktorisere polynom av høy grad i Abelkonkurransen.

Her er noen andre idéer som jeg kan si mere om ved anledning.

  • Trekke ut en bestemt faktor fra flere “deler” av polynomet.
  • Faktorisering ved hjelp av substitusjon
  • Prøve seg frem systematisk for å finne en faktorisering
  • Presis regel for gjetting av rasjonale nullpunkt (telleren er en faktor i konstantleddet, nevneren er en faktor i den ledende koeffisienten.)

Abeloppgaver fra Runde 2

Oppgave 5, Runde 2, 2011-2012

Oppgave 1, Runde 2, 2010-2011

Oppgave 7, Runde 2, 2010-2011

Advertisements

Faktorisering: Andregradsuttrykk

For å faktorisere andregradsuttrykk lærer vi i 1T følgende metoder:

  • Trekke ut en felles faktor fra alle ledd: 2x^2 + 8x blir 2x(x+4) når vi trekker ut 2x.
  • Bruke tredje kvadratsetning “baklengs”: 9-4x^2 kjenner vi igjen som tredje kvadratsetning, og faktoriserer slik: (3+2x)(3-2x). Vi kan bruke tredje kvadratsetning når vi har et uttrykk på formen “kvadrat minus kvadrat”.
  • Uttrykket 4a^2 - 20ax + 25x^2 kan vi faktorisere med andre kvadratsetning: (2a-5x)^2. For å undersøke om første eller andre kvadratsetning kan brukes, tar vi roten av første leddet (her får vi 2a) og roten av siste leddet (som her er 5x), ganger sammen svarene og dobler. Hvis dette er detsamme som midt-leddet (her 20ax), har vi et fullstendig kvadrat og kan faktorisere.
  • Noen ganger kan vi “se faktoriseringen i hodet”. For eksempel kan vi bruke “sum-produkt-metoden” hvis vi har et monisk andregradsuttrykk med nullpunkt som er heltall. (Ordet monisk betyr at tallet foran x^2 er lik 1). Eksempel: x^2 + 3x - 10 kan faktoriseres hvis finner to tall med sum 3 og produkt (-10). Tallen vi søker er 5 og (-2), og faktoriseringen blir (x+5)(x-2). En lenger forklaring av denne metoden finner du her.
  • Vi kan bruke fullstendige kvadraters metode. Dette betyr å legge til og trekke fra et bestemt uttrykk, for å ende opp med “kvadrat minus kvadrat”. Metoden er forklart i denne videoen.
  • Vi kan også bruke nullpunktsmetoden. Da må vi først finne nullpunktene (kan gjøres ved abc-formelen, eller ved å tegne grafen til uttrykket, eller ved å gjette seg frem). Når vi har funnet nullpunktene x_1 og x_2 til uttrykket ax^2 + bx + c blir faktoriseringen slik: a(x-x_1)(x-x_2).
  • Ikke alle andregradsuttrykk kan faktoriseres. Hvis uttrykket ikke har noen nullpunkt kan vi ikke faktorisere det. Detsamme gjelder hvis uttrykket kan skrives om som “kvadrat PLUSS kvadrat”.

Mere teori om andregradsuttrykk og andre polynom kommer senere, blant annet om hvordan finne summen av nullpunktene til et polynom, eller hvordan finne summen av koeffisientene.