Tag Archives: matematikk

Juleferiekos?

Savner du matematikken i juleferien? Her er noen tips til matematisk julekos.

  • Lær å programmere! Dette er gøy, og i tillegg har du enormt stor nytte av det uansett hva du skal jobbe med i fremtiden. En veldig god plass å starte på er Khan Academy’s Hour of Code – på kun én time lærer du ganske mye! Hvis du vil ha mer enn dette, gå direkte til Khan Academy Computer Programming eller til Codecademy. På Codecademy kan du lære mange forskjellige språk, og hvis du er interessert i matte ville jeg begynt med Python.
  • Last ned et spill til mobilen/nettbrettet! Det finnes massevis av spill som bygger på kreativ matematisk tenking, men to av de aller beste er DragonBox (koster noen kroner) og det enda mer utfordrende Wuzzit Trouble (gratis!).
  • Kan du litt om funksjoner og grafer allerede? Prøv å finne funksjonsuttrykkene som svarer til forskjellige grafer på Daily Desmos. Dette er en annerledes form for julenøtter, som gir veldig god trening og forståelse i funksjonsteori.
  • Løs noen “julenøtter” fra Abelkonkurransen! Her er en samling med oppgaver som ikke krever noen spesielle forkunnskaper utover ungdomsskolematematikk:

Abel 2013 Runde 1: Løs oppgavene 1, 2, 3, 5, 7, 9 og 12

Abel 2012 Runde 1: Løs oppgavene 1, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 15

Abel 2011 Runde 1: Løs oppgavene 1, 2, 4, 11

Abel 2012 Runde 2: Løs oppgavene 1, 2, 3

Abel 1992 Runde 1: Løs oppgavene 1, 2, 4, 6, 7, 8, 11, 14, 20

Er disse oppgavene for lette? Utforsk noen av de andre bloggpostene her, for eksempel denne, som handler om høyere versjoner av kvadratsetningene.

God Jul 😀

 

Advertisements

Om uttrykk, likninger og ulikheter i R1

Til mine R1-elever: Her er hovedtrekkene av det jeg vil at dere har med i rapporten om uttrykk, likninger og ulikheter.

Ulike typer uttrykk (vi kan også si ulike typer funksjoner):

Vi har snakket om monom, om polynom (inkluderer nulltegradsuttrykk, førstegradsuttrykk, andregradsuttrykk, tredjegradsuttrykk, …), om rasjonale uttrykk, om irrasjonale uttrykk, om potensuttrykk, om eksponentialuttrykk og logaritmeuttrykk, og om trigonometriske uttrykk. Jeg burde også ha nevnt absoluttverdiuttrykk. Det finnes også massevis av uttrykk som ikke er pensum i R1, f.eks. hyperbolske uttrykk og logistiske uttrykk, men de som er pensum i R1 er de vanligste og de viktigste.

Du skal forklare med definisjon og eksempel hva disse begrepene betyr.

Et uttrykk med x som variabel kan alltid tolkes som en funksjon av x, og derfor kan alle disse uttrykkene tegnes som grafer. Skisser hvordan disse grafene ser ut, for de ulike funksjonstypene. Du skal kunne disse grafene godt nok til å synes at dette bildet er morsomt.

I tillegg til disse vanlige typene uttrykk kan vi kombinere ulike uttrykk ved hjelp av sum, differanse, produkt, kvotient, potens og sammensetting. For eksempel, (x^2+1) \cdot \lg(x) er et produkt av et andregradsuttrykk og et logaritmeuttrykk, og uttrykket $sin(2x+1)$ er en sammensetting av et førstegradsuttrykk og et trigonometrisk uttrykk.

Ulike typer likninger:

Forklar først hva en likning er, og hva begrepene løsning og løsningsmengde betyr.

En likning som inneholder rasjonale uttrykk kalles for en rasjonal likning. På samme måte får vi begrepene logaritmelikning, tredjegradslikning og så videre.

Når vi skal løse en likning ser vi først på hvilken type likning det er, og deretter på hvor mange ledd likningen inneholder. For hver likningstype skal dere forklare fremgangsmåten for å løse den.

Her er et eksempel: En irrasjonal likning er en likning som inneholder irrasjonale uttrykk, dvs. uttrykk med rottegn. For å løse en slik likning må vi:

  1. Si hva forutsetningene er (for at uttrykkene i likningen skal være definerte). For irrasjonale likninger er forutsetningen at det som står under rottegnet skal være større enn eller lik null.
  2. Flytte rottegnet til ene siden og alt annet til andre siden.
  3. Kvadrere begge sidene (husk parentes runt alt som står på andre siden)
  4. Nå har vi en enklere likning. Løs den.
  5. Sjekk om løsningen(e) oppfyller forutsetningene.
  6. Hvis de gjør det, sett prøve.

Det gir ekstra poeng hvis du i tillegg kan forklare hvorfor vi i noen likninger MÅ sette prøve, mens vi i andre likninger strengt tatt ikke trenger det, bortsett for å sjekke at vi ikke gjort noen regnefeil.

Ulike typer ulikheter

På samme måte som med likninger skal du forklare hva en ulikhet er, hva det betyr å løse en ulikhet, og hva vi tenker når vi skal begynne å løse en ulikhet.

“Standardmetoden” for å løse en ulikhet er:

  1. Flytt alt til ene siden
  2. Tegn fortegnslinje
  3. Les av løsningsmengden

(Ordet “standardmetod” har jeg selv funnet på, og bruker derfor hermetegn.)

Denne metoden fungerer egentlig på alle ulikheter, men i noen få tilfeller, hvis ulikheten bare inneholder to ledd, kan vi isteden sette ett ledd på hver side og finne en enklere løsning. Men hvis du gjør det, må du huske på diverse regler. Mange ting du kan gjøre med likninger er ikke lov i ulikheter, og av og til er ting lov men du må snu ulikhetstegnet. Aller helst skal du i rappoerten forklare hvorfor disse reglene gjelder!

Mere teori og forståelse

Du bør ha med litt om implikasjon og ekvivalens, siden du med hjelp av disse begrepene kan forklare hvorfor ulike regler og metoder gjelder for ulike typer likninger og ulikheter.

I tillegg til dette er det mye annen teori jeg kan forklare hvis du er interessert, men dette er ikke pensum i R1. Jeg tenker blandt annet på begrepene surjektiv funksjon og injektiv funksjon, som hjelper oss å forstå hvor mange løsninger ulike typer likninger har.

Grafisk og digital løsning av likninger og ulikheter

Så langt har vi diskutert hvordan vi løser likninger og ulikheter for hånd, ved regning. Det er ekstremt viktig å huske på at mange likninger overhode ikke kan løses på denne måten, og blandt annet derfor har vi også helt andre løsningsmetoder. En likning (eller en ulikhet) kan i utgangspunktet løses på fire forskjellige måter:

  • For hånd, ved regning
  • For hånd, grafisk
  • Digitalt, ved regning
  • Digitalt, grafisk

Disse ulike metodene skal vi jobbe mye med senere, men til å begynne med har vi fokus på den første metoden.