Repetisjon til høst-tentamen i DVM

Litt tips innfor tentamen:

– Bruk arbeidsplan og kommentarer i ditt personlige dokument i Google Docs!

– Det er ikke nok å “kunne” algebra, du må kunne det helt automatiskt, effektivt, og 100% sikkert. Øving gjør mester!!

– Lær å bruke GeoGebra! Her nedenfor er en liste over det viktigste du bør kunne.

GeoGebra (minimumskunnskaper):

– Løse likninger ved å skrive inn likningen i CAS og trykk på knappen “x=”.

– Løse likningssett ved å tegne begge grafene i grafikkfeltet.

– Faktorisere uttrykk ved å skrive inn uttrykket i CAS og trykke på knappen “15 = 5*3”.

– Forenkle utttrykk ved å skrive inn utrykket i CAS og trykke på “(( ))”.

– Presentere en grafisk løsning pent og ryddig og levere inn i pdf-format. Se denne linken.

Spørsmål og svar

Hvis du stiller spørsmål kan jeg legge ut svar her, slik at alle kan lese det.

Hvor finner jeg flere oppgaver å øve på?

Svar: Det gjør du på NDLA. Se i menyen til venstre, under Tall og Algebra –> Nedlastbare filer.

Hva bør jeg tenke på under tentamen?

Svar: Skriv ryddig og oversiktlig. Forklar tydelig hvordan du har brukt GeoGebra!!!

Er det lurt å laste ned noe spesielt på forhånd til min PC?

Svar: Ja, på del 2 er alle hjelpemiddel tillatt. Du kan f.eks. laste ned alle NDLA-oppgaver MED LOSNINGSFORSLAG på forhånd til din maskin, slik at du har tilgang til dem på del 2 av tentamen.

Jeg kan alt vi har lært i DVM, men vil gjerne øve enda mere. Hva skal jeg gjøre?

Gå til Abelkonkurransen.no og løs noen av oppgavene der (uten digitale hjelpemiddel!). Her øver du tekstforståelse og kreativ tenking! Begynn med disse:

Abel 2013 Runde 1: Løs oppgavene 1, 2, 3, 5, 7, 9 og 12

Abel 2012 Runde 1: Løs oppgavene 1, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 15

Abel 2011 Runde 1: Løs oppgavene 1, 2, 4, 11

Abel 2012 Runde 2: Løs oppgavene 1, 2, 3

Abel 1992 Runde 1: Løs oppgavene 1, 2, 4, 6, 7, 8, 11, 14, 20

Send gjerne dine løsninger til meg på epost – klarer du noen i det hele tatt teller det positivt!

Advertisements

Noen tips om figurtall

Utdrag fra en gammel facebook-konversasjon om figurtall – kanskje du har nytte av dette hvis du tar R2 eller S2

Nå til figurtallene. Disse dukker nesten alltid opp på eksamen. Et generelt prinsipp som hjelper enormt mye er dette:

– Todimensjonale figurtall er nesten alltid andregradsuttrykk! (Kan i noen få tilfeller være førstegradsuttrykk, f.eks. “rammetall” som ser ut som rammen, dvs. bare kanten, på en kvadratisk tavle.)

– Tredimensjonale figurtall er nesten alltid tredjegradsutrykk! (Det er mulig å konstruere eksempler der formelen blir et andregradsuttrykk, men det er veldig uvanlig.)

For eksempel i oppgave 214 i R2-boken (Aschehoug) får du et svar som er et andregradsuttrykk i variabelen n.

I oppgave 213 forventer vi altså et tredjegradsuttrykk, som alltid kan skrives an^3 + bn^2 + cn + d.

Hvis vi har tilgang til digitalt hjelpemiddel, finner vi veldig raskt formelen ved å legge inn de fire første tetraedertallene 1, 4, 10, 20 som “y-verdier” i en verditabell sammen med “x-verdiene” 1, 2, 3, 4. Deretter bruker vi tredjegradsregresjon (Texas: CubicReg) for å finne formelen. Husk at vi trenger tre punkt for å bestemme en andregradsfunksjon, og fire punkt for å bestemme en tredjegradsfunksjon.

Hvis vi ikke har digitalt hjelpemiddel finnes det mange ulike fremgangsmåter, og det er litt komplisert å forklare dette i en facebook-konversasjon, men jeg skal prøve.

Metode 1: Ved å sette inn tallene 1, 2, 3, og 4 i det generelle tredjegradsuttrykket an^3 + bn^2 + cn + d får vi fire likninger, og fire ukjente (a, b, c, d). Dette kan vi løse som et likningssett, men det er litt tungvint med så mange likninger og ukjente når vi regner for hånd. Likningene vi får her er :

a+b+c+d = 1

8a+4b+2c+d = 4

og så videre. For å løse likningssettet kan vi bruke innsettingsmetoden, vi må bare bruke mange steg. Først bruker vi en av likningene til å finne et uttrykk for d, som vi setter inn i stedet for d i de tre andre likningene. Da får vi tre likninger med tre ukjente, og så videre.

Hvis du bruker denne metoden bør du sette prøve på det endelige svaret ved å sjekke at din formel faktiskt stemmer med de 4 (eller 5) første tetraedertallene. Lett å gjøre småfeil med så mange likninger!

Metode 2: Du kanskje ser at tetraedertall nummer n er summen av de n første trekanttallene. Hvis du kan noen standardformler for ulike rekker, og er litt vant med at regne med summasjonstegn, kan du enkelt regne ut formelen for tetraedertallene. Dette er metoden jeg selv ville brukt, men det blir for vanskelig å forklare her. Skal prøve å lage en video!

Metode 3: La oss kalle tallfølgen for a_n. Hvis du klarer å gjette en formel (som vi kan kalle f(n) ), kan du deretter bevise den ved hjelp av induksjon (beviset går da ut på å sjekke at f(1) er lik a_1, og deretter vise at f(n+1) – f(n) er lik a_(n+1) – a_n for alle verdier av n.

Å gjette en formel kan av og til være mulig, men det kommer litt an på situasjonen. Med tetraedertallene er det vanskelig. Men på en eksamen hadde du mest sannsynlig fått oppgitt en formel og fått som oppgave å bevise at den stemmer. Da bruker du denne metoden.

Metode 4: Det finnes en metode som bruker noe som kalles “diskret derivasjon og integrasjon”. Tallfølger er jo funksjoner fra N til R, og kan IKKE deriveres i vanlig forstand, siden vi ikke kan tegne tangent eller gi mening til ( f(x+h) – f(x) ) / h når h ikke er et heltall. MEN vi kan gjøre noe som ligner på derivasjon. Fra en tallfølge kan vi lage en ny tallfølge, på denne måten. Hvis vi begynner med 1, 4, 10, 20, 35 … kan jeg lage en ny tallfølge ved å ta differansene i den første tallfølgen: 3, 6, 10, 15 … og denne prosedyren kan jeg gjenta, på samme måte som jeg kan derivere en funksjon igjen for å finne den dobbeltderiverte, tredjederiverte, og så videre. Jeg får: 3, 4, 5, … og etter enda et steg: 1, 1, 1, 1, 1, 1 ….

Her tok det meg tre steg for å få en konstant tallfølge. Tenk på vanlige funksjoner: Hvis jeg må derivere TRE ganger for å få en konstant funksjon, hva slags funksjon var det da jeg begynte med? Jo, en tredjegradsfunksjon! Prinsippet er det samme for tallfølger, selv om jeg ikke helt forklarer hvorfor: Hvis jeg må gjøre dette TRE ganger for å få en konstant tallfølge, kan jeg være helt sikker på at jeg begynte med en tredjegradstallfølge.

Nå forklarer jeg ikke dette i detalje siden metode 1, 2, 3 er mer relevante for R2-eksamen, men ved hjelp av denne typen “derivasjon” kan jeg gå baklengs (“antiderivasjon”) og finne formelen for den opprinnelige tallfølgen.

Men nå går jeg og lager video om Metode 2, som er mest praktisk. Men husk at Metode 1 er helt grei for todimensjonale figurtall (bare tre ukjente koeffisienter), og fullt mulig å gjennomføre også med fire ukjente. Metode 3 er ofte nok på R2-eksamen, siden formelen da ofte er gitt og det er vanlig at de vil sjekke at du kan induksjonsbevis. Og selvfølgelig bruker vi regresjon hvis vi har digitalt hjelpemiddel.

 

 

Glemte en annen metode for to dimensjonale figurtall: Ofte er disse figurtallene en sum av kvadrattall, trekanttall, og “lineære” figurer, dvs. førstegradsuttrykk, og du kan av og til se direkte hva formelen blir. Rekker ikke å vise med eksempel nå, men f.eks. eiffeltallene i kapitteltestet i R2-boken er en sum trekanttallet n(n+1)/2 og tallet n. Det som kan være utfordrende med denne metoden er at hvis f.eks. den første figuren inneholder et trekanttall med sidelengde 4 må du bruke formelen (n+3)(n+4)/2 istedenfor n(n+1)/2 for denne delen av figurtallet. Her har jeg byttet ut n mot n+3, dette svarer til å flytte grafen til tallfølgen tre hakk til venstre.

 

 

Her er tre videoer:

Del 1: http://www.youtube.com/watch?v=uPeHxZ_E5VE

Del 2: http://www.youtube.com/watch?v=u4Beox6qLl4

Del 3: http://www.youtube.com/watch?v=bJLQuN8rJ54

Om uttrykk, likninger og ulikheter i R1

Til mine R1-elever: Her er hovedtrekkene av det jeg vil at dere har med i rapporten om uttrykk, likninger og ulikheter.

Ulike typer uttrykk (vi kan også si ulike typer funksjoner):

Vi har snakket om monom, om polynom (inkluderer nulltegradsuttrykk, førstegradsuttrykk, andregradsuttrykk, tredjegradsuttrykk, …), om rasjonale uttrykk, om irrasjonale uttrykk, om potensuttrykk, om eksponentialuttrykk og logaritmeuttrykk, og om trigonometriske uttrykk. Jeg burde også ha nevnt absoluttverdiuttrykk. Det finnes også massevis av uttrykk som ikke er pensum i R1, f.eks. hyperbolske uttrykk og logistiske uttrykk, men de som er pensum i R1 er de vanligste og de viktigste.

Du skal forklare med definisjon og eksempel hva disse begrepene betyr.

Et uttrykk med x som variabel kan alltid tolkes som en funksjon av x, og derfor kan alle disse uttrykkene tegnes som grafer. Skisser hvordan disse grafene ser ut, for de ulike funksjonstypene. Du skal kunne disse grafene godt nok til å synes at dette bildet er morsomt.

I tillegg til disse vanlige typene uttrykk kan vi kombinere ulike uttrykk ved hjelp av sum, differanse, produkt, kvotient, potens og sammensetting. For eksempel, (x^2+1) \cdot \lg(x) er et produkt av et andregradsuttrykk og et logaritmeuttrykk, og uttrykket $sin(2x+1)$ er en sammensetting av et førstegradsuttrykk og et trigonometrisk uttrykk.

Ulike typer likninger:

Forklar først hva en likning er, og hva begrepene løsning og løsningsmengde betyr.

En likning som inneholder rasjonale uttrykk kalles for en rasjonal likning. På samme måte får vi begrepene logaritmelikning, tredjegradslikning og så videre.

Når vi skal løse en likning ser vi først på hvilken type likning det er, og deretter på hvor mange ledd likningen inneholder. For hver likningstype skal dere forklare fremgangsmåten for å løse den.

Her er et eksempel: En irrasjonal likning er en likning som inneholder irrasjonale uttrykk, dvs. uttrykk med rottegn. For å løse en slik likning må vi:

  1. Si hva forutsetningene er (for at uttrykkene i likningen skal være definerte). For irrasjonale likninger er forutsetningen at det som står under rottegnet skal være større enn eller lik null.
  2. Flytte rottegnet til ene siden og alt annet til andre siden.
  3. Kvadrere begge sidene (husk parentes runt alt som står på andre siden)
  4. Nå har vi en enklere likning. Løs den.
  5. Sjekk om løsningen(e) oppfyller forutsetningene.
  6. Hvis de gjør det, sett prøve.

Det gir ekstra poeng hvis du i tillegg kan forklare hvorfor vi i noen likninger MÅ sette prøve, mens vi i andre likninger strengt tatt ikke trenger det, bortsett for å sjekke at vi ikke gjort noen regnefeil.

Ulike typer ulikheter

På samme måte som med likninger skal du forklare hva en ulikhet er, hva det betyr å løse en ulikhet, og hva vi tenker når vi skal begynne å løse en ulikhet.

“Standardmetoden” for å løse en ulikhet er:

  1. Flytt alt til ene siden
  2. Tegn fortegnslinje
  3. Les av løsningsmengden

(Ordet “standardmetod” har jeg selv funnet på, og bruker derfor hermetegn.)

Denne metoden fungerer egentlig på alle ulikheter, men i noen få tilfeller, hvis ulikheten bare inneholder to ledd, kan vi isteden sette ett ledd på hver side og finne en enklere løsning. Men hvis du gjør det, må du huske på diverse regler. Mange ting du kan gjøre med likninger er ikke lov i ulikheter, og av og til er ting lov men du må snu ulikhetstegnet. Aller helst skal du i rappoerten forklare hvorfor disse reglene gjelder!

Mere teori og forståelse

Du bør ha med litt om implikasjon og ekvivalens, siden du med hjelp av disse begrepene kan forklare hvorfor ulike regler og metoder gjelder for ulike typer likninger og ulikheter.

I tillegg til dette er det mye annen teori jeg kan forklare hvis du er interessert, men dette er ikke pensum i R1. Jeg tenker blandt annet på begrepene surjektiv funksjon og injektiv funksjon, som hjelper oss å forstå hvor mange løsninger ulike typer likninger har.

Grafisk og digital løsning av likninger og ulikheter

Så langt har vi diskutert hvordan vi løser likninger og ulikheter for hånd, ved regning. Det er ekstremt viktig å huske på at mange likninger overhode ikke kan løses på denne måten, og blandt annet derfor har vi også helt andre løsningsmetoder. En likning (eller en ulikhet) kan i utgangspunktet løses på fire forskjellige måter:

  • For hånd, ved regning
  • For hånd, grafisk
  • Digitalt, ved regning
  • Digitalt, grafisk

Disse ulike metodene skal vi jobbe mye med senere, men til å begynne med har vi fokus på den første metoden.

Algoritmer for faktorisering av store tall

En av mine elever spurte om hvordan man programmerer en egen algoritme i Java for faktorisering av store tall. Her er mitt svar, som kanskje noen andre kan ha nytte av:

Hei!
Det finnes enormt mange ulike algoritmer for faktorisering av heltall, fra den aller enkleste (trekk ut alle 2-tall, så 3-tall, så 5-tall, …), som du sikkert kan forstå og programmere selv nå med en gang, til veldig avanserte metoder, som “quadratic sieve”, “elliptic curve factorization”, og “number field sieve”. For å forstå detaljene i de mest avanserte metodene trenger du flere år av studier, men hvis du er interessert så kan jeg gi deg ganske mye tips og veiledning på veien. Her er litt referenser, fra veldig enkle til veldig avanserte. Setter tall på linkene i tilfelle vi skal referere til dem senere.
Her er en ferdig superenkel faktoriseringsalgoritme i Java:
Her finner du en introduksjon/oversikt over mer moderne algoritmer. Les gjerne hele denne, selv om du ikke forstår alt med en gang.
En annen oversikt over ulike algoritmer finner du på Wikipedia:
(se også de ulike linkene til diverse algoritmer nederst på siden)
Hvis du vil begynne å forstå mer om disse mer avanserte algoritmene må du brette opp ermene og begynne å lære om tallteori. Her nedenfor er noen steder å begynne. Til å begynne med bør du lære om begrepene kongruente tall, største felles divisor (GCD på engelsk), minste felles multiplum (LCD på engelsk) og teori rundt kongruenser inkludert Euler’s teorem, Fermat’s lille teorem og “Chinese Remainder Theorem”. Deretter kan du evt. prøve deg på å forstå og programmere noen halv-avanserte faktoriseringsalgoritmer som Pollard’s rho method, og Pollard’s (p-1) method.
En del forklaring finner du på Wikipedia (klikk deg videre fra disse to sidene til andre)
Og her er litt teori fra Khan Academy:
Disse notatene skrev jeg selv når jeg underviste på universitetet i Nairobi.
Jeg ville begynt her, eller evt. i læreboken for faget Matematikk X. Evt. kan jeg kopiere litt fra denne boken og sende til deg per post – minn meg på dette hvis du er interessert i å ha en tekst som er på norsk.
Her er en liten “bok” av William Chen, som også har mange andre veldig gode ressurser på sin hjemmeside innenfor Calculus m.m. Disse notatene er veldig bra, men det er en utfordring å bli vant med å “lese” matte. Mye av dette stoffet er ikke så vanskelig egentlig, men å lese det på egen hånd, uten noen som forklarer, er ikke helt lett.
Hjemmesiden til William Stein finner du her:
Den inneholder enormt mye spennende stoff. Her er et utvalg:
William Stein er en av personene bak programmeringsspråket SAGE, som er utviklet spesielt for teoretisk matematikk, blant annet for å studere elliptiske kurver, som brukes i noen av de mest avanserte faktoriseringsalgoritmene vi kjenner til.
Her er en annen link som kan være interessant. Den beskriver den berømte “PRIMES is in P”-artikkelen som kom ut for noen år siden.
Nå har jeg prøvd å velge ut noen av de aller beste referansene på området, men selvfølgelig finnes det utrolig mye mere på nettet og i ulike bøker. Å surfe rundt på nettet kan være til stor inspirasjon, men for å virkelig lære ting skikkelig må du sette deg ned med en eller to bøker, lese teorien nøye og arbeide med oppgavene.
Mvh Andreas