Geometri – noen tips til Abelkonkurransen

Tips til Abelkonkurransen, Runde 1

Geometrioppgavene i runde 1 skal kunne løses av alle – det betyr at det er bare noen få verktøy som brukes:

  1. Pythagoras
  2. Formlikhet
  3. Spesielle trekanter. Se etter:
    • Rettvinklede trekanter
    • Likebeinte trekanter (oppstår ofte i en sirkel, siden alle radiusene er like lange)
    • Likesidede trekanter. Her er alle vinklene 60 grader.
    • 30-60-90-trekanter. Her er hypotenusen dobbelt så lang som korteste katet. Forholdene mellom alle tre sidene er lik forholdene mellom 1\sqrt{3} og 2. Dette vil si at hvis du kjenner hypotenusen, finner du den korteste kateten ved å gange med \frac{1}{2}, og du finner den lengste kateten ved å gange med \frac{\sqrt{3}}{2}
  4. Ofte kan du tegne egne hjelpelinjer for å lage nye trekanter, som du kan bruke for å løse oppgaven.

En generell strategi for geometrioppgaver er:

  1. Tegn figur
  2. Gi navn til ukjente vinkler og lengder
  3. Sett opp en eller flere likninger (f.eks. ved hjelp av Pythagoras eller formlikhet)
  4. Løs likningen(e)

Hvis du tenker slik kan du løse de fleste geometrioppgaver i Runde 1. Hvis oppgaven spør om et areal, må du ofte regne ut et større areal og så trekke fra et annet areal for å komme i mål.

Tips til Abelkonkurransen, Runde 2

I Runde 2 blir oppgavene litt vanskeligere. Her er noen tips:

  • Les teksten nøye og tegn figur! Dette er ofte halve jobben. Husk at en firkant ikke nødvendigvis er et rektangel 😉
  • Ofte er det nok å bruke samme verktøy som i runde 1. For eksempel i 3-dimensjonale oppgaver kommer du veldig langt med Pythagoras.
  • Hvis vi har to formlike figurer, kan vi snakke om lengdeforholdet LF (også kalt “målestokken”). Men vi kan også snakke om arealforholdet AF. En veldig viktig sammenheng er at AF=LF^2. Eksempel: Hvis trekantene \Delta ABC og \Delta DEF er formlike, og den første har dobbelt så stort areal som den andre, er arealforholdet AF=2. Da er lengdeforholdet LF= \sqrt{2}. Du kan altså finne en sidelengde i den ene trekanten ved å gange (eller dele) tilsvarende sidelengde i den andre trekanten med \sqrt{2}.
  • En lignende sammenheng finnes mellom lengdeforhold og volumforhold: VF=LF^3

Her et utkast til sammendrag i pdf-format av andre geometri-idéer som muligens kan være nyttige i Abelkonkurransen. Noen ting som mangler her er bruk av vektorregning og koordinatgeometri. Men det viktigste for å gjøre det bra i runde 2 er nok å øve på så mange oppgaver som mulig isteden for å prøve å lære mere teori! Nesten alle oppgaver kan løses med Pythagoras, formlikhet, og lengdeforhold/arealforhold.

Abeloppgaver

Her er noen geometri-oppgaver fra Runde 2:

Oppgave 5, Runde 2, 2012-2013 (Pythagoras, LF-AF)

Oppgave 7, Runde 2, 2012-2013

Oppgave 9, Runde 2, 2012-2013 (3D, Pythagoras)

Oppgave 4, Runde 2, 2011-2012

Oppgave 6, Runde 2, 2011-2012

Oppgave 9, Runde 2, 2011-2012

Finn selv flere geometrioppgaver på hjemmesiden til Abelkonkurransen:

Runde 2 år 2010-2011

Runde 2 år 2009-2010

Oppgaver fra enda lenger tilbake

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s