Faktorisering: Kvadratsetninger, “kubikksetninger”, og så videre…

Kvadratsetningene er veldig grunnleggende i mange sammenhenger, blant annet når du skal faktorisere uttrykk. Dette er de fire kvadratsetningene:

(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2

(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2

a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)

a^2 + b^2 kan ikke faktoriseres! (ihvertfall ikke som produkt av to polynom)

I disse formlene har vi variabler opphøyd i 2, men vi kan også se på lignende formler for høyere ekponenter. Her er “kubikksetningene”:

(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)

a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)

Legg merke til den siste, som er helt forskjellig fra tilsvarende situasjon med kvadratsetningene.

Oppgaver:

1a) Faktoriser tallet 1001 ved hjelp av “fjerde kubikksetning”.

1b) Faktoriser tallet 1027.

1c) Regn ut (3x-2)^3

Du kan gå enda høyere. For å raskt regne ut (a+b)^4 og (a-b)^4 og så videre, kan du bruke binomialkoeffisienter. Dette begrepet er noe du bør kunne, og det er også lurt å lære seg om Pascals trekant i denne sammenhengen. Les mere på denne siden og denne siden, eller spør din lærer!

Det er også mulig å formulere regler for a^4-b^4, for a^4+b^4 og så videre. Kort fortalt så kan du alltid trekke ut faktoren (a-b) fra uttrykket a^n-b^n der n er et naturlig tall, MEN du kan trekke ut faktoren (a+b)fra uttrykket a^n+b^n KUN HVIS n er et (positivt) ODDETALL. Skriv selv ned disse formlene på samme måte som kubikksetningene!

Oppgaver:

Faktoriser disse uttrykkene, hvis mulig:

2a) x^3+1

2b) {}x^5+32

2c) {}8x^3-27

2d) {}x^4-4x^3+6x^2-4x+1

2e) {}x^4+1

Utfordring:

3) Uttrykket a^4+b^4 kan ikke faktoriseres. Men hva med uttrykket a^4+4b^4???

Litt om uttrykk i flere variabler

Så langt har vi bare sett på uttrykk med to variabler a og b. Det går selvfølgelig an å formulere andre regler med flere enn to variabler. Her er noen som du absolutt kan ha nytte av i Abelkonkurransen og mange andre ganger i dagliglivet:

(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 +2ab+2bc+2ca

{}(a+1)(b+1)(c+1) = abc+ 2ab+ 2bc+2ca + a+b+c+1

Oppgave:

4) Faktoriser uttrykket 8abc + 4ab+ 4bc+4ca + 2a+2b+2c+1

Abeloppgaver fra Runde 2

Oppgave 1, Runde 2, 2012-2013

Oppgave 10, Runde 2, 2012-2013

Oppgave 8, Runde 2, 2011-2012

Oppgave 5, Runde 2, 2011-2012

Oppgave 1, Runde 2, 2010-2011

Oppgave 7, Runde 2, 2010-2011

Oppgave 8, Runde 2, 2010-2011

Oppgave 5, Runde 2, 2009-2010

Oppgave 6, Runde 2, 2009-2010

Oppgave 8, Runde 2, 2009-2010

Oppgave 8, Runde 2, 2008-2009

Oppgave 9, Runde 2, 2007-2008

Oppgave 2, Runde 2, 2006-2007

 

 

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s