Monthly Archives: November 2013

Noen tips om figurtall

Utdrag fra en gammel facebook-konversasjon om figurtall – kanskje du har nytte av dette hvis du tar R2 eller S2

Nå til figurtallene. Disse dukker nesten alltid opp på eksamen. Et generelt prinsipp som hjelper enormt mye er dette:

– Todimensjonale figurtall er nesten alltid andregradsuttrykk! (Kan i noen få tilfeller være førstegradsuttrykk, f.eks. “rammetall” som ser ut som rammen, dvs. bare kanten, på en kvadratisk tavle.)

– Tredimensjonale figurtall er nesten alltid tredjegradsutrykk! (Det er mulig å konstruere eksempler der formelen blir et andregradsuttrykk, men det er veldig uvanlig.)

For eksempel i oppgave 214 i R2-boken (Aschehoug) får du et svar som er et andregradsuttrykk i variabelen n.

I oppgave 213 forventer vi altså et tredjegradsuttrykk, som alltid kan skrives an^3 + bn^2 + cn + d.

Hvis vi har tilgang til digitalt hjelpemiddel, finner vi veldig raskt formelen ved å legge inn de fire første tetraedertallene 1, 4, 10, 20 som “y-verdier” i en verditabell sammen med “x-verdiene” 1, 2, 3, 4. Deretter bruker vi tredjegradsregresjon (Texas: CubicReg) for å finne formelen. Husk at vi trenger tre punkt for å bestemme en andregradsfunksjon, og fire punkt for å bestemme en tredjegradsfunksjon.

Hvis vi ikke har digitalt hjelpemiddel finnes det mange ulike fremgangsmåter, og det er litt komplisert å forklare dette i en facebook-konversasjon, men jeg skal prøve.

Metode 1: Ved å sette inn tallene 1, 2, 3, og 4 i det generelle tredjegradsuttrykket an^3 + bn^2 + cn + d får vi fire likninger, og fire ukjente (a, b, c, d). Dette kan vi løse som et likningssett, men det er litt tungvint med så mange likninger og ukjente når vi regner for hånd. Likningene vi får her er :

a+b+c+d = 1

8a+4b+2c+d = 4

og så videre. For å løse likningssettet kan vi bruke innsettingsmetoden, vi må bare bruke mange steg. Først bruker vi en av likningene til å finne et uttrykk for d, som vi setter inn i stedet for d i de tre andre likningene. Da får vi tre likninger med tre ukjente, og så videre.

Hvis du bruker denne metoden bør du sette prøve på det endelige svaret ved å sjekke at din formel faktiskt stemmer med de 4 (eller 5) første tetraedertallene. Lett å gjøre småfeil med så mange likninger!

Metode 2: Du kanskje ser at tetraedertall nummer n er summen av de n første trekanttallene. Hvis du kan noen standardformler for ulike rekker, og er litt vant med at regne med summasjonstegn, kan du enkelt regne ut formelen for tetraedertallene. Dette er metoden jeg selv ville brukt, men det blir for vanskelig å forklare her. Skal prøve å lage en video!

Metode 3: La oss kalle tallfølgen for a_n. Hvis du klarer å gjette en formel (som vi kan kalle f(n) ), kan du deretter bevise den ved hjelp av induksjon (beviset går da ut på å sjekke at f(1) er lik a_1, og deretter vise at f(n+1) – f(n) er lik a_(n+1) – a_n for alle verdier av n.

Å gjette en formel kan av og til være mulig, men det kommer litt an på situasjonen. Med tetraedertallene er det vanskelig. Men på en eksamen hadde du mest sannsynlig fått oppgitt en formel og fått som oppgave å bevise at den stemmer. Da bruker du denne metoden.

Metode 4: Det finnes en metode som bruker noe som kalles “diskret derivasjon og integrasjon”. Tallfølger er jo funksjoner fra N til R, og kan IKKE deriveres i vanlig forstand, siden vi ikke kan tegne tangent eller gi mening til ( f(x+h) – f(x) ) / h når h ikke er et heltall. MEN vi kan gjøre noe som ligner på derivasjon. Fra en tallfølge kan vi lage en ny tallfølge, på denne måten. Hvis vi begynner med 1, 4, 10, 20, 35 … kan jeg lage en ny tallfølge ved å ta differansene i den første tallfølgen: 3, 6, 10, 15 … og denne prosedyren kan jeg gjenta, på samme måte som jeg kan derivere en funksjon igjen for å finne den dobbeltderiverte, tredjederiverte, og så videre. Jeg får: 3, 4, 5, … og etter enda et steg: 1, 1, 1, 1, 1, 1 ….

Her tok det meg tre steg for å få en konstant tallfølge. Tenk på vanlige funksjoner: Hvis jeg må derivere TRE ganger for å få en konstant funksjon, hva slags funksjon var det da jeg begynte med? Jo, en tredjegradsfunksjon! Prinsippet er det samme for tallfølger, selv om jeg ikke helt forklarer hvorfor: Hvis jeg må gjøre dette TRE ganger for å få en konstant tallfølge, kan jeg være helt sikker på at jeg begynte med en tredjegradstallfølge.

Nå forklarer jeg ikke dette i detalje siden metode 1, 2, 3 er mer relevante for R2-eksamen, men ved hjelp av denne typen “derivasjon” kan jeg gå baklengs (“antiderivasjon”) og finne formelen for den opprinnelige tallfølgen.

Men nå går jeg og lager video om Metode 2, som er mest praktisk. Men husk at Metode 1 er helt grei for todimensjonale figurtall (bare tre ukjente koeffisienter), og fullt mulig å gjennomføre også med fire ukjente. Metode 3 er ofte nok på R2-eksamen, siden formelen da ofte er gitt og det er vanlig at de vil sjekke at du kan induksjonsbevis. Og selvfølgelig bruker vi regresjon hvis vi har digitalt hjelpemiddel.

 

 

Glemte en annen metode for to dimensjonale figurtall: Ofte er disse figurtallene en sum av kvadrattall, trekanttall, og “lineære” figurer, dvs. førstegradsuttrykk, og du kan av og til se direkte hva formelen blir. Rekker ikke å vise med eksempel nå, men f.eks. eiffeltallene i kapitteltestet i R2-boken er en sum trekanttallet n(n+1)/2 og tallet n. Det som kan være utfordrende med denne metoden er at hvis f.eks. den første figuren inneholder et trekanttall med sidelengde 4 må du bruke formelen (n+3)(n+4)/2 istedenfor n(n+1)/2 for denne delen av figurtallet. Her har jeg byttet ut n mot n+3, dette svarer til å flytte grafen til tallfølgen tre hakk til venstre.

 

 

Her er tre videoer:

Del 1: http://www.youtube.com/watch?v=uPeHxZ_E5VE

Del 2: http://www.youtube.com/watch?v=u4Beox6qLl4

Del 3: http://www.youtube.com/watch?v=bJLQuN8rJ54

Advertisements