Monthly Archives: October 2013

Om uttrykk, likninger og ulikheter i R1

Til mine R1-elever: Her er hovedtrekkene av det jeg vil at dere har med i rapporten om uttrykk, likninger og ulikheter.

Ulike typer uttrykk (vi kan også si ulike typer funksjoner):

Vi har snakket om monom, om polynom (inkluderer nulltegradsuttrykk, førstegradsuttrykk, andregradsuttrykk, tredjegradsuttrykk, …), om rasjonale uttrykk, om irrasjonale uttrykk, om potensuttrykk, om eksponentialuttrykk og logaritmeuttrykk, og om trigonometriske uttrykk. Jeg burde også ha nevnt absoluttverdiuttrykk. Det finnes også massevis av uttrykk som ikke er pensum i R1, f.eks. hyperbolske uttrykk og logistiske uttrykk, men de som er pensum i R1 er de vanligste og de viktigste.

Du skal forklare med definisjon og eksempel hva disse begrepene betyr.

Et uttrykk med x som variabel kan alltid tolkes som en funksjon av x, og derfor kan alle disse uttrykkene tegnes som grafer. Skisser hvordan disse grafene ser ut, for de ulike funksjonstypene. Du skal kunne disse grafene godt nok til å synes at dette bildet er morsomt.

I tillegg til disse vanlige typene uttrykk kan vi kombinere ulike uttrykk ved hjelp av sum, differanse, produkt, kvotient, potens og sammensetting. For eksempel, (x^2+1) \cdot \lg(x) er et produkt av et andregradsuttrykk og et logaritmeuttrykk, og uttrykket $sin(2x+1)$ er en sammensetting av et førstegradsuttrykk og et trigonometrisk uttrykk.

Ulike typer likninger:

Forklar først hva en likning er, og hva begrepene løsning og løsningsmengde betyr.

En likning som inneholder rasjonale uttrykk kalles for en rasjonal likning. På samme måte får vi begrepene logaritmelikning, tredjegradslikning og så videre.

Når vi skal løse en likning ser vi først på hvilken type likning det er, og deretter på hvor mange ledd likningen inneholder. For hver likningstype skal dere forklare fremgangsmåten for å løse den.

Her er et eksempel: En irrasjonal likning er en likning som inneholder irrasjonale uttrykk, dvs. uttrykk med rottegn. For å løse en slik likning må vi:

  1. Si hva forutsetningene er (for at uttrykkene i likningen skal være definerte). For irrasjonale likninger er forutsetningen at det som står under rottegnet skal være større enn eller lik null.
  2. Flytte rottegnet til ene siden og alt annet til andre siden.
  3. Kvadrere begge sidene (husk parentes runt alt som står på andre siden)
  4. Nå har vi en enklere likning. Løs den.
  5. Sjekk om løsningen(e) oppfyller forutsetningene.
  6. Hvis de gjør det, sett prøve.

Det gir ekstra poeng hvis du i tillegg kan forklare hvorfor vi i noen likninger MÅ sette prøve, mens vi i andre likninger strengt tatt ikke trenger det, bortsett for å sjekke at vi ikke gjort noen regnefeil.

Ulike typer ulikheter

På samme måte som med likninger skal du forklare hva en ulikhet er, hva det betyr å løse en ulikhet, og hva vi tenker når vi skal begynne å løse en ulikhet.

“Standardmetoden” for å løse en ulikhet er:

  1. Flytt alt til ene siden
  2. Tegn fortegnslinje
  3. Les av løsningsmengden

(Ordet “standardmetod” har jeg selv funnet på, og bruker derfor hermetegn.)

Denne metoden fungerer egentlig på alle ulikheter, men i noen få tilfeller, hvis ulikheten bare inneholder to ledd, kan vi isteden sette ett ledd på hver side og finne en enklere løsning. Men hvis du gjør det, må du huske på diverse regler. Mange ting du kan gjøre med likninger er ikke lov i ulikheter, og av og til er ting lov men du må snu ulikhetstegnet. Aller helst skal du i rappoerten forklare hvorfor disse reglene gjelder!

Mere teori og forståelse

Du bør ha med litt om implikasjon og ekvivalens, siden du med hjelp av disse begrepene kan forklare hvorfor ulike regler og metoder gjelder for ulike typer likninger og ulikheter.

I tillegg til dette er det mye annen teori jeg kan forklare hvis du er interessert, men dette er ikke pensum i R1. Jeg tenker blandt annet på begrepene surjektiv funksjon og injektiv funksjon, som hjelper oss å forstå hvor mange løsninger ulike typer likninger har.

Grafisk og digital løsning av likninger og ulikheter

Så langt har vi diskutert hvordan vi løser likninger og ulikheter for hånd, ved regning. Det er ekstremt viktig å huske på at mange likninger overhode ikke kan løses på denne måten, og blandt annet derfor har vi også helt andre løsningsmetoder. En likning (eller en ulikhet) kan i utgangspunktet løses på fire forskjellige måter:

  • For hånd, ved regning
  • For hånd, grafisk
  • Digitalt, ved regning
  • Digitalt, grafisk

Disse ulike metodene skal vi jobbe mye med senere, men til å begynne med har vi fokus på den første metoden.

Advertisements

Algoritmer for faktorisering av store tall

En av mine elever spurte om hvordan man programmerer en egen algoritme i Java for faktorisering av store tall. Her er mitt svar, som kanskje noen andre kan ha nytte av:

Hei!
Det finnes enormt mange ulike algoritmer for faktorisering av heltall, fra den aller enkleste (trekk ut alle 2-tall, så 3-tall, så 5-tall, …), som du sikkert kan forstå og programmere selv nå med en gang, til veldig avanserte metoder, som “quadratic sieve”, “elliptic curve factorization”, og “number field sieve”. For å forstå detaljene i de mest avanserte metodene trenger du flere år av studier, men hvis du er interessert så kan jeg gi deg ganske mye tips og veiledning på veien. Her er litt referenser, fra veldig enkle til veldig avanserte. Setter tall på linkene i tilfelle vi skal referere til dem senere.
Her er en ferdig superenkel faktoriseringsalgoritme i Java:
Her finner du en introduksjon/oversikt over mer moderne algoritmer. Les gjerne hele denne, selv om du ikke forstår alt med en gang.
En annen oversikt over ulike algoritmer finner du på Wikipedia:
(se også de ulike linkene til diverse algoritmer nederst på siden)
Hvis du vil begynne å forstå mer om disse mer avanserte algoritmene må du brette opp ermene og begynne å lære om tallteori. Her nedenfor er noen steder å begynne. Til å begynne med bør du lære om begrepene kongruente tall, største felles divisor (GCD på engelsk), minste felles multiplum (LCD på engelsk) og teori rundt kongruenser inkludert Euler’s teorem, Fermat’s lille teorem og “Chinese Remainder Theorem”. Deretter kan du evt. prøve deg på å forstå og programmere noen halv-avanserte faktoriseringsalgoritmer som Pollard’s rho method, og Pollard’s (p-1) method.
En del forklaring finner du på Wikipedia (klikk deg videre fra disse to sidene til andre)
Og her er litt teori fra Khan Academy:
Disse notatene skrev jeg selv når jeg underviste på universitetet i Nairobi.
Jeg ville begynt her, eller evt. i læreboken for faget Matematikk X. Evt. kan jeg kopiere litt fra denne boken og sende til deg per post – minn meg på dette hvis du er interessert i å ha en tekst som er på norsk.
Her er en liten “bok” av William Chen, som også har mange andre veldig gode ressurser på sin hjemmeside innenfor Calculus m.m. Disse notatene er veldig bra, men det er en utfordring å bli vant med å “lese” matte. Mye av dette stoffet er ikke så vanskelig egentlig, men å lese det på egen hånd, uten noen som forklarer, er ikke helt lett.
Hjemmesiden til William Stein finner du her:
Den inneholder enormt mye spennende stoff. Her er et utvalg:
William Stein er en av personene bak programmeringsspråket SAGE, som er utviklet spesielt for teoretisk matematikk, blant annet for å studere elliptiske kurver, som brukes i noen av de mest avanserte faktoriseringsalgoritmene vi kjenner til.
Her er en annen link som kan være interessant. Den beskriver den berømte “PRIMES is in P”-artikkelen som kom ut for noen år siden.
Nå har jeg prøvd å velge ut noen av de aller beste referansene på området, men selvfølgelig finnes det utrolig mye mere på nettet og i ulike bøker. Å surfe rundt på nettet kan være til stor inspirasjon, men for å virkelig lære ting skikkelig må du sette deg ned med en eller to bøker, lese teorien nøye og arbeide med oppgavene.
Mvh Andreas