Boktips – sinnsykt vakker matematikk

Matematikk er mye vakrere enn hva mange tror, og det finnes en del bøker som viser dette på en mye bedre måte enn skolens lærebøker. Her er noen boktips som jeg ønsker jeg hadde fått når jeg gikk på skolen! Har linket til Amazon, siden de har Kindle editions og mange gode reviews, men hvis du vil ha en bok i papirformat er det nok litt billigere å kjøpe på The Book Depository.

Jeg håper for øvrig at de fleste av disse snart er å finne på skolebiblioteket (for deg som går på min skole).

  • Keith Devlin: Introduction to Mathematical Thinking. Link
  • Maths In Minutes. Link
  • The Code Book. Link
  • Fermat’s Last Theorem. Link
  • Love and Math. Link
  • The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe. Link

Sitat fra Amazon, om den siste boken: “This may be the most complete mathematical explanation of the universe yet published”. De andre bøkene er også fantastiske, hver og én på sin måte. Kjøp nå og les i ferien!

Advertisements

Juleferiekos?

Savner du matematikken i juleferien? Her er noen tips til matematisk julekos.

  • Lær å programmere! Dette er gøy, og i tillegg har du enormt stor nytte av det uansett hva du skal jobbe med i fremtiden. En veldig god plass å starte på er Khan Academy’s Hour of Code – på kun én time lærer du ganske mye! Hvis du vil ha mer enn dette, gå direkte til Khan Academy Computer Programming eller til Codecademy. På Codecademy kan du lære mange forskjellige språk, og hvis du er interessert i matte ville jeg begynt med Python.
  • Last ned et spill til mobilen/nettbrettet! Det finnes massevis av spill som bygger på kreativ matematisk tenking, men to av de aller beste er DragonBox (koster noen kroner) og det enda mer utfordrende Wuzzit Trouble (gratis!).
  • Kan du litt om funksjoner og grafer allerede? Prøv å finne funksjonsuttrykkene som svarer til forskjellige grafer på Daily Desmos. Dette er en annerledes form for julenøtter, som gir veldig god trening og forståelse i funksjonsteori.
  • Løs noen “julenøtter” fra Abelkonkurransen! Her er en samling med oppgaver som ikke krever noen spesielle forkunnskaper utover ungdomsskolematematikk:

Abel 2013 Runde 1: Løs oppgavene 1, 2, 3, 5, 7, 9 og 12

Abel 2012 Runde 1: Løs oppgavene 1, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 15

Abel 2011 Runde 1: Løs oppgavene 1, 2, 4, 11

Abel 2012 Runde 2: Løs oppgavene 1, 2, 3

Abel 1992 Runde 1: Løs oppgavene 1, 2, 4, 6, 7, 8, 11, 14, 20

Er disse oppgavene for lette? Utforsk noen av de andre bloggpostene her, for eksempel denne, som handler om høyere versjoner av kvadratsetningene.

God Jul 😀

 

Faktorisering: Polynom

Her er noen få rakse tips for å faktorisere polynom (opprinnelig skrevet med tanke på en deltaker i runde 2 av Abelkonkurransen).

Nullpunktsmetoden: Finner du et nullpunkt r så vet du at (x-r) er en faktor. Bruk polynomdivisjon for å faktorisere.

Hvis polynomet har heltallskoeffisienter kan du ofte gjette nullpunkt ved å prøve med tall (positive OG negative) som går opp i konstantleddet! Dette er nok det viktigste å vite for å kunne faktorisere polynom av høy grad i Abelkonkurransen.

Her er noen andre idéer som jeg kan si mere om ved anledning.

  • Trekke ut en bestemt faktor fra flere “deler” av polynomet.
  • Faktorisering ved hjelp av substitusjon
  • Prøve seg frem systematisk for å finne en faktorisering
  • Presis regel for gjetting av rasjonale nullpunkt (telleren er en faktor i konstantleddet, nevneren er en faktor i den ledende koeffisienten.)

Abeloppgaver fra Runde 2

Oppgave 5, Runde 2, 2011-2012

Oppgave 1, Runde 2, 2010-2011

Oppgave 7, Runde 2, 2010-2011

Geometri – noen tips til Abelkonkurransen

Tips til Abelkonkurransen, Runde 1

Geometrioppgavene i runde 1 skal kunne løses av alle – det betyr at det er bare noen få verktøy som brukes:

  1. Pythagoras
  2. Formlikhet
  3. Spesielle trekanter. Se etter:
    • Rettvinklede trekanter
    • Likebeinte trekanter (oppstår ofte i en sirkel, siden alle radiusene er like lange)
    • Likesidede trekanter. Her er alle vinklene 60 grader.
    • 30-60-90-trekanter. Her er hypotenusen dobbelt så lang som korteste katet. Forholdene mellom alle tre sidene er lik forholdene mellom 1\sqrt{3} og 2. Dette vil si at hvis du kjenner hypotenusen, finner du den korteste kateten ved å gange med \frac{1}{2}, og du finner den lengste kateten ved å gange med \frac{\sqrt{3}}{2}
  4. Ofte kan du tegne egne hjelpelinjer for å lage nye trekanter, som du kan bruke for å løse oppgaven.

En generell strategi for geometrioppgaver er:

  1. Tegn figur
  2. Gi navn til ukjente vinkler og lengder
  3. Sett opp en eller flere likninger (f.eks. ved hjelp av Pythagoras eller formlikhet)
  4. Løs likningen(e)

Hvis du tenker slik kan du løse de fleste geometrioppgaver i Runde 1. Hvis oppgaven spør om et areal, må du ofte regne ut et større areal og så trekke fra et annet areal for å komme i mål.

Tips til Abelkonkurransen, Runde 2

I Runde 2 blir oppgavene litt vanskeligere. Her er noen tips:

  • Les teksten nøye og tegn figur! Dette er ofte halve jobben. Husk at en firkant ikke nødvendigvis er et rektangel 😉
  • Ofte er det nok å bruke samme verktøy som i runde 1. For eksempel i 3-dimensjonale oppgaver kommer du veldig langt med Pythagoras.
  • Hvis vi har to formlike figurer, kan vi snakke om lengdeforholdet LF (også kalt “målestokken”). Men vi kan også snakke om arealforholdet AF. En veldig viktig sammenheng er at AF=LF^2. Eksempel: Hvis trekantene \Delta ABC og \Delta DEF er formlike, og den første har dobbelt så stort areal som den andre, er arealforholdet AF=2. Da er lengdeforholdet LF= \sqrt{2}. Du kan altså finne en sidelengde i den ene trekanten ved å gange (eller dele) tilsvarende sidelengde i den andre trekanten med \sqrt{2}.
  • En lignende sammenheng finnes mellom lengdeforhold og volumforhold: VF=LF^3

Her et utkast til sammendrag i pdf-format av andre geometri-idéer som muligens kan være nyttige i Abelkonkurransen. Noen ting som mangler her er bruk av vektorregning og koordinatgeometri. Men det viktigste for å gjøre det bra i runde 2 er nok å øve på så mange oppgaver som mulig isteden for å prøve å lære mere teori! Nesten alle oppgaver kan løses med Pythagoras, formlikhet, og lengdeforhold/arealforhold.

Abeloppgaver

Her er noen geometri-oppgaver fra Runde 2:

Oppgave 5, Runde 2, 2012-2013 (Pythagoras, LF-AF)

Oppgave 7, Runde 2, 2012-2013

Oppgave 9, Runde 2, 2012-2013 (3D, Pythagoras)

Oppgave 4, Runde 2, 2011-2012

Oppgave 6, Runde 2, 2011-2012

Oppgave 9, Runde 2, 2011-2012

Finn selv flere geometrioppgaver på hjemmesiden til Abelkonkurransen:

Runde 2 år 2010-2011

Runde 2 år 2009-2010

Oppgaver fra enda lenger tilbake

Faktorisering: Kvadratsetninger, “kubikksetninger”, og så videre…

Kvadratsetningene er veldig grunnleggende i mange sammenhenger, blant annet når du skal faktorisere uttrykk. Dette er de fire kvadratsetningene:

(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2

(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2

a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)

a^2 + b^2 kan ikke faktoriseres! (ihvertfall ikke som produkt av to polynom)

I disse formlene har vi variabler opphøyd i 2, men vi kan også se på lignende formler for høyere ekponenter. Her er “kubikksetningene”:

(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)

a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)

Legg merke til den siste, som er helt forskjellig fra tilsvarende situasjon med kvadratsetningene.

Oppgaver:

1a) Faktoriser tallet 1001 ved hjelp av “fjerde kubikksetning”.

1b) Faktoriser tallet 1027.

1c) Regn ut (3x-2)^3

Du kan gå enda høyere. For å raskt regne ut (a+b)^4 og (a-b)^4 og så videre, kan du bruke binomialkoeffisienter. Dette begrepet er noe du bør kunne, og det er også lurt å lære seg om Pascals trekant i denne sammenhengen. Les mere på denne siden og denne siden, eller spør din lærer!

Det er også mulig å formulere regler for a^4-b^4, for a^4+b^4 og så videre. Kort fortalt så kan du alltid trekke ut faktoren (a-b) fra uttrykket a^n-b^n der n er et naturlig tall, MEN du kan trekke ut faktoren (a+b)fra uttrykket a^n+b^n KUN HVIS n er et (positivt) ODDETALL. Skriv selv ned disse formlene på samme måte som kubikksetningene!

Oppgaver:

Faktoriser disse uttrykkene, hvis mulig:

2a) x^3+1

2b) {}x^5+32

2c) {}8x^3-27

2d) {}x^4-4x^3+6x^2-4x+1

2e) {}x^4+1

Utfordring:

3) Uttrykket a^4+b^4 kan ikke faktoriseres. Men hva med uttrykket a^4+4b^4???

Litt om uttrykk i flere variabler

Så langt har vi bare sett på uttrykk med to variabler a og b. Det går selvfølgelig an å formulere andre regler med flere enn to variabler. Her er noen som du absolutt kan ha nytte av i Abelkonkurransen og mange andre ganger i dagliglivet:

(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 +2ab+2bc+2ca

{}(a+1)(b+1)(c+1) = abc+ 2ab+ 2bc+2ca + a+b+c+1

Oppgave:

4) Faktoriser uttrykket 8abc + 4ab+ 4bc+4ca + 2a+2b+2c+1

Abeloppgaver fra Runde 2

Oppgave 1, Runde 2, 2012-2013

Oppgave 10, Runde 2, 2012-2013

Oppgave 8, Runde 2, 2011-2012

Oppgave 5, Runde 2, 2011-2012

Oppgave 1, Runde 2, 2010-2011

Oppgave 7, Runde 2, 2010-2011

Oppgave 8, Runde 2, 2010-2011

Oppgave 5, Runde 2, 2009-2010

Oppgave 6, Runde 2, 2009-2010

Oppgave 8, Runde 2, 2009-2010

Oppgave 8, Runde 2, 2008-2009

Oppgave 9, Runde 2, 2007-2008

Oppgave 2, Runde 2, 2006-2007

 

 

Faktorisering: Heltall

Grunnleggende metode:

Ofte vil vi faktorisere et heltall i primtallsfaktorer. Den enkleste metoden er å først trekke ut så mange 2-tall som mulig, deretter 3-tall, deretter 5-tall og så videre. Hvis vi vil faktorisere tallet 112200 kan utregningen settes opp slik:

112200   2

56100     2

28050     2

14025     3

4675       5

935         5

187         11

17           17

1

Konklusjonen her er at tallet 112200 kan faktoriseres som 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 11 \cdot 17. Ulempen med denne metoden er at den tar ganske lang tid, men her er noen tips for å bli mer effektiv:

  • Du kan begynne med å trekke ut 10-tall. Da får vi faktoriseringen 1122 \cdot 100 der tallet 100 er veldig lett å faktorisere, og tallet 1122 ikke heller er altfor ille.
  • Et viktig begrep et tverrsum. Tverrsummen til et tall er summen av sifrene i tallet. Tverrsummen til 128200 er 1+1+2+2+0+0 som blir 6
  • Et tall er delbart med 2 hvis og bare hvis siste siffer er delbart med 2 (dvs. siste siffer må være 0, 2, 4, 6, eller 8)
  • Et tall er delbart med 3 hvis og bare hvis tverrsummen er delbar med 3. Vi ser for eksempel at 112200 må være delbart med 3, siden tverrsummen 6 er delbar med 3.
  • Et tall er delbart med 5 hvis og bare hvis siste siffer er delbart med 5 (dvs. siste siffer må være 0 eller 5).
  • Et tall er delbart med 11 hvis og bare hvis den alternerende tverrsummen er delbar med 11. Alternerende tverrsum betyr at annenhvert siffer regnes positivt og annenhvert negativt. I vårt eksempel får vi 1-1+2-2+0-0 som blir 0. Tallet 0 er delelig med 11 og dermed er tallet 112200 også det.
  • Det finnes lignende “test” for delbarhet med 7, med 13, og så videre. Det er også mulig å sette opp en del enkle regler for tall som ikke er primtall, f.eks. delbarhet med 4, 6, 8, og 9. Et viktig prinsipp er at et tall er delbart med n hvis og bare hvis det er delbart med alle primtallspotenser i faktoriseringen av n. Eksempel: For å sjekke om et tall er delbart med 12 sjekker vi om det er delbart med 4 og delbart med 3.

Andre tips for å faktorisere tall

  • Av og til kan vi bruke tredje kvadratsetning. For eksempel, tallene 899 og 391 kan faktoriseres veldig fort på denne måten.
  • Av og til kan vi bruke “kubikksetninger” eller enda høyere versjoner. Eksempel: faktoriser tallet 1007^4 - 1005^4 og tallet 1001 på denne måten (det siste tallet er summen av to kubikktall). Se denne siden.
  • Hvis du kan Euklids algoritme for største felles deler til to tall, kan du fort og enkelt sjekke om et gitt tall har noen felles faktor med et annet. Dette kan av og til brukes til faktorisering.
  • Du kan lære deg utenat alle kvadrat-tall opp til 1024 og alle primtall under 100. Dette kan spare tid og er uansett litt gøy å kunne.
  • For å faktorisere et tall når du har internett-tilgang, gå til Wolfram Alpha og skriv inn f.eks. “factor 9125”.
  • I Abelkonkurransen er det ofte en oppgave der du må faktorisere dagens årstall. Dette kan du ha i bakhodet. For eksempel har vi 2013 = 3 \cdot 11 \cdot 61 og 2014 = 2 \cdot 19 \cdot 53.

Abeloppgaver fra Runde 2

Oppgave 1, Runde 2, 2012-2013

Oppgave 1, Runde 2, 2006-2007

Oppgave 4, Runde 2, 2007-2008

Faktorisering: Andregradsuttrykk

For å faktorisere andregradsuttrykk lærer vi i 1T følgende metoder:

  • Trekke ut en felles faktor fra alle ledd: 2x^2 + 8x blir 2x(x+4) når vi trekker ut 2x.
  • Bruke tredje kvadratsetning “baklengs”: 9-4x^2 kjenner vi igjen som tredje kvadratsetning, og faktoriserer slik: (3+2x)(3-2x). Vi kan bruke tredje kvadratsetning når vi har et uttrykk på formen “kvadrat minus kvadrat”.
  • Uttrykket 4a^2 - 20ax + 25x^2 kan vi faktorisere med andre kvadratsetning: (2a-5x)^2. For å undersøke om første eller andre kvadratsetning kan brukes, tar vi roten av første leddet (her får vi 2a) og roten av siste leddet (som her er 5x), ganger sammen svarene og dobler. Hvis dette er detsamme som midt-leddet (her 20ax), har vi et fullstendig kvadrat og kan faktorisere.
  • Noen ganger kan vi “se faktoriseringen i hodet”. For eksempel kan vi bruke “sum-produkt-metoden” hvis vi har et monisk andregradsuttrykk med nullpunkt som er heltall. (Ordet monisk betyr at tallet foran x^2 er lik 1). Eksempel: x^2 + 3x - 10 kan faktoriseres hvis finner to tall med sum 3 og produkt (-10). Tallen vi søker er 5 og (-2), og faktoriseringen blir (x+5)(x-2). En lenger forklaring av denne metoden finner du her.
  • Vi kan bruke fullstendige kvadraters metode. Dette betyr å legge til og trekke fra et bestemt uttrykk, for å ende opp med “kvadrat minus kvadrat”. Metoden er forklart i denne videoen.
  • Vi kan også bruke nullpunktsmetoden. Da må vi først finne nullpunktene (kan gjøres ved abc-formelen, eller ved å tegne grafen til uttrykket, eller ved å gjette seg frem). Når vi har funnet nullpunktene x_1 og x_2 til uttrykket ax^2 + bx + c blir faktoriseringen slik: a(x-x_1)(x-x_2).
  • Ikke alle andregradsuttrykk kan faktoriseres. Hvis uttrykket ikke har noen nullpunkt kan vi ikke faktorisere det. Detsamme gjelder hvis uttrykket kan skrives om som “kvadrat PLUSS kvadrat”.

Mere teori om andregradsuttrykk og andre polynom kommer senere, blant annet om hvordan finne summen av nullpunktene til et polynom, eller hvordan finne summen av koeffisientene.